SYMETRIE WIELOKĄTÓW

Przekształcenia geometryczne płaszczyzny Przekształcenie geometryczne jest funkcją. Spośród różnych rodzajów przekształceń geometrycznych są takie, które zachowują odległość punktów, czyli jeżeli A jest obrazem punktu A, a B - odpowiednio obrazem punktu B, to |A, B| = |AB|, bez względu na wybór punktów A i B. każde przekształcenie geometryczne o tej własności nazywamy przekształceniem izometrycznym lub krótko: izometrią . Jeśli zbiór wszystkich izomerii płaszczyzny oznaczymy przez Iz, to definicję izometrii możemy zapisać ściśle tak:
Przykłady:
1) Identyczność
2) Przesunięcie (nie zmienia odległości punktów)
3) Obrót (np. symetria środkowa)
4) Symetria osiowa
Złożenie izomerii jest izomerią. Izomeria jest różnowartościowa.
Punkt stały i figura stała przekształcenia
Punktem stałym przekształcenia geometrycznego nazywamy punkt będący swoim własnym obrazem przy tym przekształceniu. Figurą stałą przekształcenia f nazywamy odpowiednio figurę F, która jest zbiorem wszystkich swoich punktów. Izomerię, która figurę przekształca na siebie nazywamy izomerią własną.
Symetria osiowa, oś symetrii Na płaszczyźnie symetrią względem prostej a nazywamy izomerię nietożsamościową tej płaszczyzny na siebie, w której wszystkie punkty prostej są stałe. Prostą a nazywamy osią symetrii, a samo przekształcenie symetrią osiową.

Figury stałe symetrii osiowej - figury osiowosymetryczne
WIELOKĄTY NIEFOREMNE O NIEPARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW
Kiedy wielokąt nieforemny ma oś symetrii?Figury stałe symetrii osiowej - figury osiowosymetryczne WIELOKĄTY NIEFOREMNE O NIEPARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW Kiedy wielokąt nieforemny ma oś symetrii?
A. Trójkąt różnoboczny
a) Spróbujmy ustalić jaki trójkąt różnoboczny ma oś symetrii. Jeżeli przy pewnej symetrii osiowej obrazem trójkąta ABC ma być on sam, to obrazem jednego wierzchołka (np. A) powinien być inny wierzchołek (np. B) - wtedy także B jest obrazem punktu A - co jednoznacznie określa obraz trzeciego wierzchołka: powinien to być punkt C (punkt stały tej symetrii osiowej) A. Trójkąt różnoboczny a) Spróbujmy ustalić jaki trójkąt różnoboczny ma oś symetrii. Jeżeli przy pewnej symetrii osiowej obrazem trójkąta ABC ma być on sam, to obrazem jednego wierzchołka (np. A) powinien być inny wierzchołek (np. B) - wtedy także B jest obrazem punktu A - co jednoznacznie określa obraz trzeciego wierzchołka: powinien to być punkt C (punkt stały tej symetrii osiowej)

n - liczba boków
n = 3
1. - liczba osi symetrii 1
Trójkąt osiowosymetryczny jest zatem równoramienny. Jeżeli nie jest on przy tym równoboczny, to ma dokładnie jedną oś symetrii. Jest nią symetralna boku AB zawierająca przeciwległy wierzchołek C symetralna boku AB pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego


1. liczba osi symetrii = 0
2. żadna symetralna boku nie zawiera przeciwległego wierzchołka
3. żadna dwusieczna kąta nie pokrywa się z symetralną boku

B) Pięciokąt posiadający oś symetrii
Zaznaczam trzy dowolne punkty A, D i C a następnie znajduję ich obrazy symetrii względem prostej k.

1. Jedna oś symetrii
2. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek, która pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego.

C) Siedmiokąt posiadający oś symetrii

1. Jedna oś symetrii
2. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek
D. Symetralna boku AG pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta naprzeciwległego.

Spostrzeżenia
Wielokąty nieforemne o nieparzystej ilości wierzchołków mają jedną oś symetrii wtedy, gdy jeden wierzchołek jest punktem stałym symetrii, pozostałe wierzchołki tworzą pary, z których jeden wierzchołek jest obrazem drugiego. Jeden z boków ma symetralną zawierającą przeciwległy wierzchołek wielokąta pokrywającą się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego, naprzeciwległego.

WIELOKĄTY NIEFOREMNE O PARZYSTEJ ILOŚCI WIERZCHOŁKÓW
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla czworokąta ABCD. Możliwości mamy tu dwie:
1. albo są dwie pary wierzchołków, z których jeden jest obrazem drugiego,
2. jest tylko jedna para, a pozostałe wierzchołki (przeciwległe) są stałymi punktami symetrii

Czworokąt

Spostrzeżenia

Trapez równoramienny i deltoid mają jedną oś symetrii. Prostokąt i romb mają dwie osie symetrii. Inne czworokąty, np. równoległobok osi symetrii nie mają.

Sześciokąt posiadający oś symetrii
Znowu rozważam dwie możliwości:

1. Jedna oś symetrii
Zaznaczam trzy dowolne punkty A, B i C, a następnie znajduję ich obrazy w symetrii względem prostej k.

Wielokąty nieforemne o parzystej liczbie wierzchołków mogą mieć jedną lub dwie osie symetrii wtedy, gdy:
- wszystkie wierzchołki tworzą pary, z których jeden jest obrazem drugiego względem osi symetrii lub,
- dwa wierzchołki są punktami stałymi symetrii, a pozostałe tworzą pary z których jeden jest obrazem drugiego.

Wnioski (uogólnienia)
1. W wielokątach nieforemnych o nieparzystej liczbie boków symetralna boku pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta wewnętrznego naprzeciwległego.
2. W wielokątach nieforemnych o parzystej liczbie boków znajdujemy pary boków o wspólnej symetralnej. Poza tym znajdujemy proste zawierające dwusieczne kątów wewnętrznych naprzeciwległych pokrywające się z osiami symetrii.

WIELOKĄTY FOREMNE
Nieparzysta ilość wierzchołków
Trójkąt równoboczny

1. Liczba osi symetrii 3
2. Osiami symetrii są symetralne boków, które pokrywają się z prostymi zawierającymi dwusieczną kątów wewnętrznych, naprzeciwległych.

n = 5
1. Liczba osi symetrii 5
2. Symetralna boku pokrywa się z prostą zawierającą dwusieczną kąta naprzeciwległego.

Parzysta ilość wierzchołków – kwadrat

n = 4
1. Liczba osi symetrii 4
2. Osiami symetrii są:
symetralne przeciwległych boków
dwusieczne przeciwległych kątów

Sześciokąt foremny
Jedna możliwość – dwie pary wierzchołków, z których jeden jest obrazem drugiego, a pozostałe dwa wierzchołki (przeciwległe) są punktami stałymi symetrii.

Druga możliwość – trzy pary wierzchołków, z których jeden jest obrazem drugiego.

n = 6
1. Liczba osi symetrii 6
2. Osiami symetrii są: (analogicznie jak w kwadracie)

Wnioski (uogólnienia)
1. W wielokątach foremnych o nieparzystej liczbie boków, symetralne kolejnych boków pokrywają się z prostymi zawierającymi dwusieczne kątów wewnętrznych, naprzeciwległych.
2.W wielokątach foremnych o parzystej liczbie boków, symetralne boków równoległych oraz dwusieczne kątów pokrywają się z osiami symetrii.
3.Osiami symetrii wielokątów foremnych są symetralne wszystkich boków i proste zawierające dwusieczne kątów wewnętrznych, naprzeciwległych.
4.W wielokątach foremnych wszystkie symetralne boków i dwusieczne kątów przecinają się w jednym i tym samym punkcie, który jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego i środkiem okręgu wpisanego. Zatem na każdy wielokąt foremny można opisać okrąg i w każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg.




Podsumowanie
1. Za pomocą osi symetrii można zdefiniować np. – symetralną odcinka, jako oś symetrii prostopadłą do odcinka, dwusieczną kąta – jako część wspólną osi symetrii i obszaru kąta.
2. Figura może:
nie mieć wcale osi symetrii, np. trójkąt różnoboczny, równoległobok, trapez prostokątny itp.
mieć tylko jedną oś symertii, np. kąt, trójkąt rónoramienny itp.
mieć więcej osi symetrii, np. odcinek, prostokąt, romb – dwie osie, trójkąt równoboczny – trzy osie, kwadrat – cztery osie itp.
mieć nieskończenie wiele osi symetrii, np. prosta, koło, okrąg itp.
3. Jeżeli figura F jest osiowo – symetryczna, ma skończenie wiele osi symetrii, to osie te należą do jednego pęku.
4. Jeżeli figura ma dokładnie dwie osie symetrii to są one prostopadłe. Figura ma tym samym środek symetrii.
5. Figura o nieparzystej liczbie osi symetrii nie ma środka symetrii.
6. Figura mająca dwa środki symetrii nie może być osiowa - symetryczna.
7. Figura złożona ze wszystkich osi symetrii figury osiowo – symetrycznej jest figurą osiowo – symetryczną.
8. Jeżeli figura ma jedną oś symetrii, to jest ona prostą stałą w każdym podobieństwie własnym tej figury.
9. Dwie różne proste równoległe nie są jednocześnie osiami symetrii figury.


Opracowała mgr Barbara Rainert

POWRÓT

STRONA GŁÓWNA